Bøger i Teubner Studienbucher Mathematik serien

Der vorliegende Text tiber Integration ist aus einem dreisemestrigen Grundkurs "Analysis" hervorgegangen. Diesem Ursprung, wie auch der Erfahrung, daB es den Studenten hoherer Vorlesungen aus der Analysis oder Stochastik haufig an maBtheoretischem Grundwissen mangelt, ent­ sprechen die Ziele dieser Einftihrung, namlich - von den im Laufe des ersten Semesters erworbenen mathematischen Kenntnissen auszugehen -Riemann-Stieltjes-Integrale tiber Intervallen an den Anfang zu stell en und gerade so weit zu entwickeln, wie sie nach wie vor von Nutzen sind, mit beliebigen Verteilungsfunktionen als Integratoren, und unter EinschluB n von Kurvenintegralen im R -davon unabhangig dann das Lebesgue-Integral tiber allgemeinen MaB­ raumen aufzubauen, wobei im Zweifel stets der handlicheren, wenn auch etwas spezielleren Formulierung vor maBtheoretischen Verfeinerungen der Vorzug gegeben wurde -schlieBlich die Theorie auch anzuwenden. Ais Anwendungen werden solche Themenkreise der Analysis behandelt, die einerseits von grundsatzlichem eigenen Interesse sind, und wo anderer­ seits ein flexibler Integralbegriff unentbehrlich ist. Hierzu gehort ein Pa­ ragraph iiber Fouriertransformation auf dem Rn, dann eine ausfiihrliche Behandlung der auf Faltung mit glatten Funktionen beruhenden Reich­ haltigkeitssatze fiir Testfunktionen in Verbindung mit den Grundideen der Distributionentheorie, aber auch, als Beispiel fiir die Kraft von Hil­ bertraumschliissen und damit fur die Bedeutung der Vollstandigkeit des 2 Raumes L (,,), ein Beweis des Radon-Nikodym'schen Satzes iiber die Exi­ stenz von Dichten.

6 mathematische Losungsmethoden bei der Untersuchung der ihn interessieren- den Fragen helfen konnen. Dieses Anliegen wird im Buch dadurch realisiert, da die behandelten mathematischen Themen an vielen Anwendungsbeispie- len illustriert werden und da groer Wert auf die Interpretation der erzielten Ergebnisse gelegt wird. Die Darlegungen des Buches berucksichtigen naturlich, da ein Student im l. Semester noch kein fertig ausgebildeter Wirtschaftswissenschaftler ist. Deshalb werden sehr spezielle Fachtermini vermieden. Zur Anregung der selbstandi- gen Beschaftigung mit dem behandelten Stoff werden dafur eine groe Zahl an Ubungsaufgaben gestellt, von denen in der Regel auch die Losungen im Anhang zu finden sind. Schlielich ist die Vielzahl im Buch enthaltener Abbildungen dazu gedacht, das Vorstellungsvermogen anzuregen und zu verbessern. Das vorliegende Lehrbuch vereint gewissermaen drei Bucher in einem: einen Vorkurs zum Erwerb oder zur Festigung von Abiturkenntnissen, den ei- gentlichen Grundkurs Mathematik fur Wirtschaftswissenschaftler, der die Ge- biete Lineare Algebra, Lineare Optimierung und Analysis mehrerer Verander- licher umfat, sowie eine relativ umfangreiche Einfuhrung in die Finanzma- thematik. Nicht unerwahnt sollte bleiben, da das Buch so angelegt ist, da es sich auch vorzuglich zum Selbststudium eignet. Erfreulicherweise stie die erste Ausgabe auf eine rege Nachfrage, so da be- reits nach relativ kurzer Zeit eine neue Auflage notwendig wurde. Wesentliche inhaltliche Anderungen erschienen uns dabei nicht erforderlich, jedoch haben wir das gesamte Buch einer nochmaligen kritischen Durchsicht unterzogen und einige Schreibfehler korrigiert.

Kompakt und verstandlich gelingt es dem Autor den Leser in die Methoden zur Untersuchung und Bewertung von Finanzderivaten einzufuhren. So erlangen Sie ein vertieftes Verstandnis fur die faszinierende Welt der Finanzmarkte.

Wie im ersten Band ihres Werkes stellen die Autoren die mathematischen Grundlagen der Physik in gut zuganglicher und ansprechender Form dar. Das Buch eignet sich sowohl fur das Selbststudium als auch zur Begleitung von Vorlesungen.

Das Konzept dieses Buches ist aus Vorlesungen und Seminaren entstan­ den, die ich im Rahmen eines Zyklus über Funktionalanalysis und Numerische Mathematik im Mathematik-Hauptstudium an der Technischen Universität Berlin gehalten habe. Es ist nicht für Spezialisten ge­ schrieben, sondern wendet sich an Leser, die damit beginnen wollen, sich mit der mathematischen Theorie der nichtlinearen Probleme zu beschäftigen. Vorkenntnisse werden über normierte Räume und lineare Operatoren vorausgesetzt und zwar in einem Umfang, der etwa dem In­ halt einer der üblichen Einführungen in die Funktionalanalysis ent­ spricht. Das bedeutet zum Beispiel, daß auf die Behandlung von Din­ gen verzichtet wird, die mit Hilfe der Homologietheorie erhalten werden oder die auf der Verwendung von Ordnungsstrukturen beruhen. Das Ziel dieses Buches besteht darin, in dem geschilderten Rahmen und bei möglichst geringem Umfang eine Einführung in die mittler­ weile mehr oder weniger klassischen Methoden zum Nachweis der Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen zu geben. Behandelt werden im einzelnen einige Verallgemeinerungen des Banachschen Fix­ punktsatzes sowie die Existenz und iterative Konstruktion von Fix­ punkten bei nichtexpansiven Operatoren, die Abbildungsgrade für stetige Abbildungen im Rn bzw. vOllstetige Störungen der Identität in Banach-Räumen und damit zusammenhängend die Existenz von Fix­ punkten bei vollstetigen Operatoren, die Variationsmethode und ihre vleiterführung in der Theorie der monotonen Operatoren sowie die Existenz von Fixpunkten bei mengenwertigen Operatoren.

In der griechischen Mathematik hat man L~ngen, Fl~chen, Volumina durch das Ausschöpfungsprinzip des EUDOXOS von Knidos (vermutlich 408-355 v. Chr. ) bestimmt: In der Ebene ging man von der Annahme aus, daß die Fläche eines Rechteckes das Produkt seiner Seitenlän­ gen ist, und erhielt durch geschicktes Teilen und Verschieben von Flächenstücken die Flächeninhalte von einfachen Figuren wie Drei­ ecken, Trapezen, Parallelogrammen usw . . Sollte nun die Fläche ei­ ner komplizierteren Figur K, etwa eines Kreises, bestimmt werden, so suchte man zu jeder positiven Zahl e einfache Figuren Ie und Ae mit Ie c K c Ae derart, daß der Inhalt der einfachen Figur Ae' Ie kleiner als e wurde; fand man nun eine Zahl a mit Inhalt(Ie) ~ a ~ Inhalt(Ae) für alle e>O, so gab man K den Flächeninhalt a. Es ist einfach zu sehen, daß dieser Begriff des Flächeninhalts additiv ist, d. h. es gilt für disjunkte K und K , für die man mittels des Ausschöpfung2 1 2 prinzipseinen Inhalt bestimmen kann, daß K u K einen Inhalt hat 1 2 und gilt. Mit der Präzisierung des Grenzwertbegriffs im 19. Jahrhundert konn­ te diese Idee noch erfolgreicher benutzt werden. Bei der Definition 2 des RIEMANNschen Inhalts einer Menge Kc R verwendet man zur Appro­ ximation von innen und außen endliche Vereinidungen von achsenparal - lelen Rechtecken.

Dieses Skriptum ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die ich an den Universitaten MUnchen und Bayreuth gehalten habe, und gibt eine EinfUhrung in die Darstellungstheorie endlicher Gruppen, die etwa dem Umfang einer zweisemestrigen Vorlesung entspricht. Das Skriptum ist insbesondere fUr Studenten der Mathematik nach den VorprUfungen gedacht, wenn auch an algebraischem Grundwissen nur elementare Kenntnisse der Kerper-, Gruppen- und Modultheorie vorausgesetzt werden. Der Inhalt besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil befaBt sich mit der gewehnlichen Darstellungstheorie, bei der man Gruppen in halbeinfache Algebren Uber einem Kerper einbettet und die Dar­ stellungen der Gruppen aus den Moduln Uber diesen Algebren er­ halt. Der zweite Teil behandelt die modulare Darstellungstheorie. Dabei werden zunachst die Grundlagen aus der Ring- und Modultheorie dargelegt. Dann wird auf die Theorie der nicht-halbeinfachen Gruppenalgebren eingegangen, wie sie vor allem von D.G. Higman, J.A. Green und G.O. Michler aufgebaut worden ist. SchlieBlich wird die klassische Methode der modularen Darstellungstheorie entwickelt, bei der man von einem bewerteten Kerper mit der Charakteristik 0 zu dem Radikalfaktorring des zugeherigen Bewer­ tungsrings Ubergeht. Einen genaueren Uberblick gewinnt der Leser durch das Inhalts­ verzeichnis sowie den schematischen Leitfaden, der die logische Abhangigkeit der einzelnen Abschnitte anzeigt. Insbesondere ist zum Verstandnis des zweiten Teils, wenn man von den Abschnitten 10.4 und 10.5 absieht, vom ersten Teil nur die Kenntnis der Abschnitte 1.1 bis 1.3 und die Definition 2.11 der Gruppen­ algebra notwendig.

In den letzten Jahren wurde ich immer häufiger von Studenten ge­ fragt, warum sich ein mathematisches Gebiet gerade in dieser (meist in der Vorlesung vorgestellten) Weise entwickelt hat und nicht an­ ders, was die hauptsächlichen Triebfedern waren, und wie es weiter­ geht. Insbesondere interessierte, neben anderen Faktoren wie An­ wendbarkeit oder Querverbindungen zu anderen Gebieten, die Rolle, welche die großen klassischen Probleme bei der Entwicklung einer Theorie spielten. Die kürzlich erfolgte ungewöhnliche Lösung des 4-Farben Problems war mir ein willkommener Anlaß, den genauen Einfluß zu studieren, den dieses universell bekannte Problem vornehmlich auf die Graphen­ theorie hatte. Vielleicht schärfer als anderswo scheiden sich arn 4-Farben Problem die Geister. Die einen sagen, die Mathematik, die das 4-Farben Problem hervorgebracht hat, ist eine Marginalie und die Lösung mit ihrem enormen Computer Einsatz ist vorn ästheti­ schen Standpunkt aus geradezu abschreckend. Die anderen wieder~ meinen, daß das 4-Farben Problem fast im Alleingang eine ganze Dis­ ziplin hat entstehen lassen, eben die Graphentheorie, wie es in diesem Umfang höchst selten vorkommt, und daß die Lösung mit ihren vielfältigen Aspekten inner- und außermathematischer Art weit in die Zukunft weist. Die Arbeit an diesem Buch hat mich überzeugt, daß die zweite Auffassung eher zutrifft - und es ist meine Hoff­ nung, daß mir in der Darstellung hinreichende Argumente dafür ge­ lungen sind.

Obwohl noch nie so viele Daten über die Welt zur Verfügung standen wie heute, wird die Wirklichkeit immer undurchsichtiger. Sie präsentiert sich als Ansamm­ lung voneinander getrennter Einzelbereiche, schön geordnet nach Ressorts und Fachbereichen und damit zu Bruchstücken auseinandergerissen. Ihrem Wesen nach ist die Realität jedoch ein vernetztes System, in dem es oft weniger auf jene Einzelbereiche ankommt als auf die Beziehungen zwischen ihnen. Damit ist ein Ziel dieses Buches angesprochen: Es faßt die Wirklichkeit auf als dynamisches Wechselspiel zwischen Zuständen und Flüssen. Und mit Hilfe dieser beiden Bau­ steine - Zustände und Zustandsänderungen (Flüsse) - werden Ausschnitte aus der Wirklichkeit modellhaft als vernetzte Systeme dargestellt. Die Güte derartiger Modelle mißt sich in der Regel daran, wie gut sie die realen Bewegungen simulieren, das heißt nachahmen. Das zweite Anliegen ist daher die Analyse der Dynamiken dieser Modelle, das heißt ihres Lösungsverhaltens in Ab­ hängigkeit von der Zeit. Die Dynamiken natürlicher Systeme sind in der Regel periodisch und nicht linear. Sie ergeben sich aus der Verknüpfung einfacher Rhythmen wie Geborenwerden und Sterben oder Tag und Nacht. Am Beginn des Buches steht eine anschauliche Einführung in die ModelIierung dynamischer Vorgänge mit Hilfe von Zuständen und Flüssen. Am Beispiel eines "Weltmodells" wird ein Arbeitskonzept vorgestellt, welches den Leser von einer umgangssprachlichen Problembeschreibung hinführt zur mathematischen Darstel­ lung des Problems als Differential- bzw. Differenzengleichungssystem.