Bøger i Vieweg Studium; Aufbaukurs Mathematik serien

Das Problem, Gleichungen zu losen, hat die Entwicklung der Algebra uber mehr als zwei Jahrtausende begleitet. Geometrische Aufgaben lassen sich in die Algebra ubersetzen und in deren praziser Sprache behandeln. Es ist das Leitmotiv des Buches, die Theorie anhand leicht verstandlicher Probleme zu entwickeln und durch ihre Losung zu motivieren. Dabei lernt man kennen, was zu einer Einfuhrung in die Algebra im Grundstudium gehort: Die Korper mit ihren Er weiterungen bis hin zur Galoistheorie, ferner die elementaren Tec hniken der Gruppen- und Ringtheorie. Der Text enthalt 350 Ubungsa ufgaben von verschiedenen Schwierigkeitsgraden einschlielich Hin weisen zu ihrer Losung.Das Buch grundet sich auf die Erfahrungen des Autors mit mehreren Generationen von Studenten und ist besonders zu empfehlen fur Le hrer und solche, die es werden wollen.

Eine kombinierte Einfuhrung in die Algebra bis zur Galoistheorie und ihren klassischen Anwendungen sowie in die Zahlentheorie: Dabei profitiert die Algebra von den Motivationen und dem reichen Beispielmaterial der Zahlentheorie; letztere gewinnt an Klarheit und Kurze durch Strukturen und Satze der Algebra. Es wird solides Grundwissen fur beide Gebiete vermittelt und gleichzeitig die Brucke zu neuesten Entwicklungen geschlagen (z. B. diophantische Probleme, Faktorisierungsmethoden, inverses Problem der Galoistheorie). Die Neuauflage enthlt neben Korrekturen und Aktualisierungen Lsungshinweise zu den Aufgaben. Neu ist ein umfangreiches Kapitel ber Gitter, die Brcke zur Algebraischen Zahlentheorie und zu vielen Anwendungen von Algebra und Zahlentheorie in der Diskreten Mathematik.

Das vorliegende Buch stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses fur Studenten der Mathe- matik und Physik dar und umfat die Integralrechnung im !Rn mit Anwendungen. Die mehrdimensionale Integration ist wahrscheinlich innerhalb der mathematischen Grund- vorlesungen das unangenehmste Stoffgebiet. Das hat verschiedene Grunde. Einerseits bleibt die Integrationstheorie unbefriedigend, wenn nicht das Lebesguesche Integral eingefuhrt wird. Dessen Einfuhrung verbraucht aber meist soviel Zeit, da am Schlu der Vorlesung der Student nicht in der Lage ist, die Oberflache einer Kugel auszurechnen, ganz zu schwei- gen von der Kenntnis der Integralsatze. Will man aber andererseits die Integralsatze in ihrer heutigen eleganten Form darstellen, so mu der ganze Differentialformenkalkul auf Mannig- faltigkeiten eingefuhrt werden, was wiederum kaum Zeit fur die matheoretische Seite der Integrationstheorie und fur Anwendungen lat, von denen es vor allem in der klassischen Analysis so viele gibt und die heute immer mehr in Vergessenheit geraten. Fur dieses Dilemma konnte auch im vorliegenden Buch keine Ideal-Losung gefunden wer- den. Es wurde aber versucht, zu einem vernunftigen Kompromi zu kommen. Insbesondere wird der ermudende systematische Aufbau der Theorie immer wieder durch Paragraphen unterbrochen, in denen Beispielmaterial bereitgestellt oder Anwendungen besprochen werden.

Das Standardwerk über Diskrete Mathematik in deutscher Sprache. Großer Wert wird auf die Übungen gelegt, die etwa ein Viertel des Textes ausmachen. Die Übungen sind nach Schwierigkeitsgrad gegliedert, im Anhang findet man Lösungen für etwa die Hälfte der Übungen. Das Buch eignet sich für Lehrveranstaltungen im Bereich Diskrete Mathematik, Kombinatorik, Graphen und Algorithmen.

Dieses Lehrbuch prasentiert projektive Geometrie, ein wichtiges klassisches Gebiet der Mathematik, im neuen Gewand: So liegt ein Akzent auf uberraschenden und wichtigen Anwendungen. Die 2. Auflage beinhaltet WOM-Codes, Perspektive, Bewegliche Fachwerke und Polarraume als zusatzliche Themen.

Dieses Buch gibt eine Einfuhrung in die Algebraische Geometrie. Ziel ist es, die grundlegenden Begriffe und Techniken der algebraischen Geometrie zusammen mit einer Reihe von Beispielen darzustellen.

Wieder ein anderes Mal, als ich vor der Tafel stand und mit Kreide allerlei Figuren zeich- te, kam mir plotzlich der Gedanke: Warum ist die Symmetrie den Augen angenehm? Was * "e; ist eigentlich die Symmetrie?"e; - Sie ist ein angeborenes Gefu *hl"e;, gab ich mir selbst zur "e; Antwort. Worauf beruht sie? Herrscht denn in allem im Leben Symmetrie? Im Gegenteil, "e; da ist das Leben - "e;, und ich zeichnete eine ovale Figur auf die Tafel. Nach dem Leben "e; geht die Seele in die Ewigkeit hinuber - da ist die Ewigkeit"e; - und ich zog von der einen * Seite des Ovals einen Strich bis an den Rand der Tafel. Warum ist denn auf der anderen "e; Seite nicht auch ein solcher Strich? In der Tat, wie kann es denn eine einseitige Ewigkeit geben, wir haben gewi schon vor diesem Leben existiert, obwohl wir die Erinnerung daran * verloren haben. "e; Diese Uberlegung, die mir auerordentlich neu und klar vorkam und deren logischen Zusammenhang ich jetzt nur mit Muhe * wieder?nden kann, ge?el mir sehr, und ich nahm ein Blatt Papier, um sie schriftlich darzulegen, aber dabei kam mir eine solche Menge Gedanken in den Kopf, da ich aufstehen mute und im Zimmer auf und ab gehen.

Dieses Lehrbuch, verfaßt von Manfredo P. do Carmo, Professor für Mathematik am Instituto de Matematica Pura e Aplicada (IMPA) in Rio de Janeiro, ist eine Einführung in die elementare Differentialgeometrie, die mehr Wert auf die grundlegenden geometrischen Tatsachen als auf den Formalismus legt. In jedem Kapitel werden einige einfache fundamentale Ideen in den Mittelpunkt gestellt. So stützt sich Kapitel 2 auf den Begriff einer regulären Fläche in R3, ein Modell für den allgemeinen Begriff einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Die Betrachtung der Gauß- Abbildung in Kapitel 3 führt zu einem Einblick in die lokale Geometrie von Flächen in R3. Kapitel 4 zeigt, wie sich die innere Geometrie der Flächen aus dem Begriff der kovarianten Ableitung entwickeln läßt; hier wird auf den allgemeinen Begriff eines Zusammenhangs in der Riemannschen Geometrie vorbereitet.

Vor 50 Jahren gab es den Begriff "Diskrete Mathematik" nicht, und er ist auch heute im deutschen Sprachraum keineswegs gebrauchlich. Vorlesungen dazu werden nicht iiberall und schon gar nicht mit einem einheitlichen Themenkatalog angeboten (im Gegensatz zum Beispiel zu den USA, wo sie seit langem einen festen Platz haben). Die Mathematiker verstehen unter Diskreter Mathematik meist Kombinatorik oder Graphentheorie, die Informatiker Diskrete Strukturen oder Boolesche Algebren. Das Hauptanliegen dieses Buches ist daher, solch einen Themenkatalog zu prasentieren, der alle Grundlagen fiir ein weiterfiihrendes Studium enthalt. Die Diskrete Mathematik beschaftigt sich vor allem mit endlichen Mengen. Was kann man in endlichen Mengen studieren? Ais allererstes kann man sie abzahlen, dies ist das klassische Thema der Kombinatorik - in Teil I werden wir die wich­ tigsten Ideen und Methoden zur Abzahlung kennenlernen. Auf endlichen Mengen ist je nach Aufgabenstellung meist eine einfache Struktur in Form von Relationen gegeben, von denen die anwendungsreichsten die Graphen sind. Diese Aspekte fas­ sen wir in Teil II unter dem Titel Graphen uncl Algorithmen zusammen. Und schlieBlich existiert auf endlichen Mengen oft eine algebraische Struktur (oder man kann eine solche auf natiirliche Weise erklaren). Algebraische Systeme sind der Inhalt von Teil III. Diese drei Gesichtspunkte bilden den roten Faden des Buches. Ein weiterer Aspekt, der die Darstellung durchgehend pragt, betrifft den Begriff der Optimierung.

Stochastik ist die Mathematik des Zufalls. Sie ist von groter Bedeutung fur die Berufspraxis der Mathematiker. An vielen Schulen hat sie ihren festen Platz gefunden. Die beiden Hauptgebiete der Stochastik sind Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.

Es wird geschiitzt, daf.\ man tiber kommutative Algebra und algebraische Geometrie beim derzeitigen Stand des Wissens eine 200 Semester dauernde Vorlesung halten konnte, in der man sich niemals wiederholen miiEte. Jede Einflihrung in eines dieser Gebiete muB daher eine strenge Stoffauswahl treffen. Ich will zunachst angeben, welche Gesichtspunkte im vorliegenden Buch nit die Wahl des behandelten Materials maBgebend waren. Diese Einflihrung ist aus Vorlesungen fur Studenten hervorgegangen, die schon einen Grundkurs in Algebra absolviert hatten, bei denen daher Kenntnisse in linearer Algebra, Ring-, Korper- und Galoistheorie vorausge­ setzt werden konnten. Mit sehr viel mehr soUte auch nicht begonnen werden. Ich habe mir in der Vorlesung und imjetzigen Text vorgenommen, mit moglichst geringen Hilfsmitteln zu einigen neueren Resultaten der kommutativen Algebra und alge­ braischen Geometrie hinzuftihren, die sich mit der Darstellung algebraischer Varietiiten als Durchschnitt von moglichst wenig Hyperf/iichen befassen und - damit eng gekoppel- mit der moglichst sparsamen Erzeugung von Idealen in noetherschen Ringen.

Der Text ist eine erweiterte Fassung einer Algebravoriesung, die ich im Winterse­ mester 1971/72 und dann noch einmal im Wintersemester 1990/91 an der Universitat Regensburg gehalten habe. Diese Vorlesung richtete sich hauptsachlich an Studenten im dritten Fachsemester. Es waren Vorlesungen "Lineare Algebra I und II" vorausge­ gangen, die schon so angelegt waren, daB anschliefiend in einem einsemestrigen Kurs die Algebra bis zu den Grundziigen der Galoistheorie entwickelt werden konnte. Die "Lineare Algebra I" behandelte i. w. den Inhalt des Buches [F] von Gerd Fischer, also Vektorraume, lineare Abbildungen, Matrizen und Determinanten einschliefilich der einfachsten Tatsachen iiber Gruppen und Ringe. Die "Lineare Algebra II" war auf die beabsichtigte Fortsetzung in der Algebra-Vorlesung zugeschnitten. Sie ent­ hielt u. a. die Teilbarkeitstheorie in Ringen, die den jetzigen § 4 ausmacht, femer die lineare Algebra fiir Moduln iiber kommutativen Ringen bis hin zum Hauptsatz fiir Moduln iiber Hauptidealringen. Yom Leser dieses Textes wird daher erwartet, daB er schon etwas mit Ringen und Moduln umgehen kann. 1m Gegensatz zu vielen Lehrbiichem der Algebra ist der Stoff nicht nach dem Schema "Gruppen-Ringe-Korper" organisiert. Vielmehr wollte ich eine wohlmoti­ vierte Einfiihrung in die Korper- und Galoistheorie geben, die besonders auch die In­ teressen der Lehramtsstudenten beriicksichtigt, und in der jeweils der nachste Schritt durch den vorhergehenden nahegelegt wird. Ich beginne, dem Beispiel meines Leh­ rers F. K.