Bøger i Vita Mathematica serien

Erreichen durch die «Konkurrenz» zunichte gemacht.

Mathematician for All Seasons

Biographie des ungarischen Mathematikers János Bolyai (1802-1860), der etwa gleichzeitig mit dem russischen Mathematiker Nikolai Lobatschewski und unabhängig von ihm die nichteuklidische Revolution eingeleitet hat. Diese erbrachte den Nachweis, dass die euklidische Geometrie keine Denknotwendigkeit ist, wie Kant irrtümlicherweise annahm. Das Verständnis für die kühnen Gedankengänge verbreitete sich allerdings erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts durch die Arbeiten von Riemann, Beltrami, Klein und Poincaré. Die nichteuklidische Revolution war eine der Grundlagen für die Entwicklung der Physik im 20. Jahrhundert und für Einsteins Erkenntnis, dass der uns umgebende reale Raum gekrümmt ist. Tibor Weszely schildert das wechselvolle Leben des Offiziers der K.u.K.-Armee, der krank und vereinsamt starb. Bolyai hat sich auch intensiv mit den komplexen Zahlen und mit Zahlentheorie befasst, ebenso auch mit philosophischen und sozialen Fragen (¿Allheillehre¿) sowie mit Logik und Grammatik.

Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemüt der Menschen bewegt," das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so an­ regend und fruchtbar gewirkt," das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklärung bedürftig. HILBERT [226, p. 163] Etwas mehr als 100 Jahre sind vergangen, seit in den Mathemati­ schen Annalen der sechste und letzte Teil von CANTORS fundamenta­ ler Arbeit Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten erschie­ nen ist. Damit war die Mengenlehre geboren und mit ihr eine prinzipiell neue Auffassung des Unendlichen in der Mathematik, verkörpert in CANTORS Theorie der transfiniten Zahlen. Diese Theo­ rie hat HILBERT als «die bewundernswerteste Blüte mathematischen Geistes und überhaupt eine der höchsten Leistungen rein verstandes­ mäßiger menschlicher Tätigkeit» bezeichnet. Anfangs unbeachtet oder abgelehnt, zu Ende des vorigen Jahrhunderts zunehmend anerkannt und verwendet, durch die Ent­ deckung der Antinomien erneut erschüttert, ist die Mengenlehre in ihrer heutigen axiomatisierten Gestalt eines der Fundamente der Mathematik. Die Tatsache, daß alle mathematischen Begriffe auf mengentheoretische Begriffe zurückgeführt werden können, hat ei­ nige Autoren sogar zu der Behauptung veranlaßt, die gesamte Ma­ thematik sei letztendlich mit der Mengenlehre identisch. Wenn uns allerdings eine solche Ansicht als eine ungerechtfertigte Überbeto­ nung des Formalen gegenüber dem Inhaltlichen erscheint, so ist doch unbestritten, daß die mengentheoretische Durchdringung der Mathematik neben der Entstehung des strukturellen Denkens und der Verwendung der axiomatischen Methode ein Wesenszug der mo­ dernen Mathematik ist. Das hat in zahlreichen Ländern bis in denSchulunterricht hinein gewirkt.

In den meisten Darstellungen der Entwicklung der Mathema­ tik im 17. Jahrhundert wird man den Namen Faulhaber ver­ geblich suchen, obwohl Johannes Faulhaber immer wieder, wenn auch nur bei einigen Spezialisten wie den Mathematikern C. G. J. Jacobi und A. F. Mobius aufgrund seiner mathematischen Lei­ stungen Interesse zu erwecken vermochte. Dennoch gibt es in den Faulhaber-Biographien, die seit dem 18. Jahrhundert zu­ meist in Ulm und Umgebung, der Heimat Faulhabers, erschienen sind, bislang keine angemessene oder gar vollstandige Wurdigung seines mathematischen Werks. Eine solche Wurdigung erscheint aus verschiedenen Grunden wunschenswert. Die mathematischen Entdeckungen Faulhabers sind nicht nur gemessen an den Lei­ stungen deutscher Mathematiker des 16. Jahrhunderts heraus­ ragend, sondern auch im Vergleich zu anderen Errungenschaf­ ten der Mathematik des 17. Jahrhunderts, das Zeitgenossen als ein Jahrhundert der Mathematik galt, durchaus bemerkenswert. Am auffalligsten und wohl auch von Faulhaber selbst als seine groBte Entdeckung eingeschatzt sind die Summen und hoheren Summen der Potenzen naturlicher Zahlen bis zum Exponenten 17 in Form der heute sogenannten Faulhaberpolynome. Die Re­ konstruktion des Findungsweges dieser Potenzsummen auf der Grundlage der Faulhaber zuganglichen elementaren Methoden hat Mathematiker bis in die jungste Zeit beschaftigt.

Diese Biographie BERKELEYS beansprucht nicht, eine umfassende Darstellung aller Aspekte dieser faszinierenden Personlichkeit und des zugehorigen Werkes zu geben, sondern betont bewuGt die Seiten, die geeignet sind, das Verstiindnis seiner Beitriige zur Entwicklung der Wissenschaften im 18. lahrhundert zu fordern. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Diskussionen iiber die Grundlagen der Mathe­ matik gelegt. Die folgende Darstellung unterstreicht also gerade die Ziige BERKELEYS, die in den anderen Darstellungen nur beiliiufig behandelt werden, wenn man sie nicht ganz vernachliissigt. Vor allem im deutschsprachigen Raum wurde BERKELEY immer wieder unter­ schiitzt oder miBachtet 1. Wiihrend der Vorbereitung zu diesem Buch erschien eine aus­ gezeichnete BERKELEY -Monographie von AREND K ULENKAMPFF 2. Leser, die sHirker an der Philosophie BERKELEYS interessiert sind, seien auf diese Schrift verwiesen. Ob es mehr als ein gliicklicher Zufall ist, daG innerhalb so kurzer Zeit nach fUnfzig lahren Pause gleich zwei deutschsprachige Biicher iiber BERKELEY erscheinen, wird sich in der Zukunft zeigen. Die Ubersetzungen der Zitate und der Texte im Teil III stam­ men, wenn nicht anders angegeben, von mir. Ich danke allen, die an der Entstehung dieses Buches direkt oder indirekt mitgewirkt haben, insbesondere DAVID BERMAN (Dub­ lin) und RAYMOND W. HOUGHTON (Dublin), die mir in so entgegen­ kommender Weise das Bildmaterial ihres Buches Images zur VerfU­ gung stellten und mir mit Informationen behilflich waren, und B. P.

Das Riemannsche Integral lernen schon die Schüler kennen, die Theorien der reellen und der komplexen Funktionen bauen auf wichtigen Begriffsbildungen und Sätzen Riemanns auf, die Riemannsche Geometrie ist für Einsteins Gravitationstheorie und ihre Erweiterungen unentbehrlich, und in der Zahlentheorie ist die berühmte Riemannsche Vermutung noch immer offen. Riemann und sein um fünf Jahre jüngerer Freund Richard Dedekind sahen sich als Schüler von Gauss und Dirichlet. Um die Mitte des 19. Jahrhunderts leiteten sie den Übergang zur "modernen Mathematik" ein, der eine in Analysis und Geometrie, der andere in der Algebra mit der Hinwendung zu Mengen und Strukturen. Dieses Buch ist der erste Versuch, Riemanns wissenschaftliches Werk unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zusammenzufassend darzustellen. Riemann gilt als einer der Philosophen unter den Mathematikern. Er stellte das Denken in Begriffen neben die zuvor vorherrschende algorithmische Auffassung von der Mathematik, welche die Gegenstände der Untersuchung, in Formeln und Figuren, in Termumformungen und regelhaften Konstruktionen als die allein legitimen Methoden sah. David Hilbert hat als Riemanns Grundsatz herausgestellt, die Beweise nicht durch Rechnung, sondern lediglich durch Gedanken zu zwingen. Hermann Weyl sah als das Prinzip Riemanns in Mathematik und Physik, "die Welt als das erkenntnistheoretische Motiv..., die Welt aus ihrem Verhalten im un- endlich kleinen zu verstehen."

Biographie 11 2 Projektive Geometrie 31 3 Die Erfindung der Rechenmaschine 47 4 Das arithmetische Dreieck . . . . 59 5 Die Genesis der Wahrscheinlichkeitsrechnung . 77 6 Der Weg zur lnfinitesimalrechnung . . . . . 97 7 Reflexionen tiber die mathematische Methode 119 8 Physik 125 9 Der PAScALsche Kosmos 137 10 Epilog 149 11 Chronologie 152 Anmerkungen 159 163 Literatur Personentafel 167 Sachindex .. 173 Bildnachweis . 176 FUR MARLIES 7 Vorwort BLAISE PASCAL ist eine faszinierende, aber schwer fassbare Person­ lichkeit universaler Pragung. Das geistige Vermachtnis des jugendli­ chen Genies erstreckt sich von der Mathematik, Physik und Philo­ sophie bis hin zur Literatur und Theologie. Der zweite Band der Serie Vita M athematica ist der Biogra­ phie und dem wissenschaftlichen Werk gewidmet, wobei hier die Mathematik im Vordergrund steht. Nach einer einfUhrenden Le­ bensbeschreibung werden die einzelnen Disziplinen vorgestellt, unter Einbezug gewisser allgemeiner entwicklungsgeschichtlicher Fakten. Es kommen zur Sprache: Die projektive Geometrie, die Rechenma­ schine, das arithmetische Dreieck (heute PAScALsches Dreieck ge­ nannt), die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Infinitesimalrech­ nung. Ein kurzes Kapitel ist auch der Physik gewidmet.

Euklid, der Geometer aus Alexandria, und sein uberwiegend geometrisches literarisches Werk bilden den Mittelpunkt dieses Buches zur Geschichte der Mathematik. Es ist bis heute nicht mit letzter Sicherheit geklart, ob es einen Mathematiker mit dem Namen Euklid wirklich gegeben, wann er gelebt hat und ob die ihm zugeschriebenen Lehrbucher zur Mathematik und zur mathematischen Physik tatsachlich nur von ihm verfasst wurden. Trotz dieser Einschrankungen breitet der Autor das derzeit verfugbare Wissen uber die voreuklidische griechische Mathematik, die Traditionslinien der euklidischen Geometrie und die uber Jahrhunderte andauernde Wirkungsgeschichte der euklidischen Werke umfassend aus. Dabei wird an vielen Stellen deutlich, wie unzureichend unsere Kenntnisse uber die Rezeptionsgeschichte und wie luckenhaft das antike Quellenmaterial auch nach zweitausend Jahren immer noch sind. Das Buch spurt den vielfaltigen historischen und interkulturellen Aspekten und Facetten der Mathematik nach.

This full-length biography of Finnish mathematician and astronomer Anders Johan Lexell (1740-1784) reveals him as a lucid observer of the intellectual landscape of enlightened Europe. It examines his life as well as his prolific scientific output.

Der Mathematiker Vito Volterra (1860 - 1940) war nicht nur ein großer Mathematiker, sondern auch ein guter Wissenschaftsorganisator. Über Jahrzehnte galt er als der bedeutendste Repräsentant der Wissenschaft in Italien. Die Autoren rekonstruieren seine wichtigsten Beiträge zur Wissenschaft und zur Entwicklung der wissenschaftlichen Institutionen in Italien und der Welt: von der Entwicklung der Funktionalanalysis über die Untersuchung der Populationsdynamik bis zu seiner Lehrtätigkeit und der Gründung des staatlichen italienischen Forschungsrates.

Evariste Galois' short life was lived against the turbulent background of the restoration of the Bourbons to the throne of France, the 1830 revolution in Paris and the accession of Louis-Phillipe.

Der Astronom F.W. Bessel gilt zusammen mit dem Mathematiker C.G.J. Jacobi und dem Physiker Franz Neumann als Begründer der sogenannten 'Königsberger Schule', die auf die Universitäten in Deutsch- land, aber auch in Russland und im gesamten osteuropäischen Raum, einen grossen Einfluss hatte. Als Autodidakt erwarb sich Bessel schon in jungen Jahren mit seinen astronomischen Arbeiten die Anerkennung der führenden Gelehrten seiner Zeit. Nachdem er als Professor an die Albertina nach Königsberg berufen worden war, erhielt er bereits mit 27 Jahren auf Betreiben von Gauss die Ehren- doktorwürde der Universität Göttingen. Ihm wurde die Planung und der Bau der Königsberger Sternwarte übertragen, die sich unter seiner Leitung zu einem internationalen Zentrum der Astronomie entwickelte. Bessel leistete aber nicht nur in der Astronomie und der Geodäsie Bedeutendes, sondern auch in der Theoretischen Mathematik. Diese Biographie beschränkt sich nicht auf die Schilderung der wissenschaftlichen Leistungen Bessels, sondern stellt ihn auch als Mensch und Persönlichkeit vor. Besondere Aufmerksamkeit widmet das Buch den engen wissenschaftlichen und persönlichen Be- ziehungen, die Bessel, nachdem er schon in jungen Jahren in die Petersburger Akademie aufgenommen worden war, zur russischen Wissenschaft und zu den russischen Wissenschaftlern entwickelt hat. Engagiert und lebendig schildert der Autor Bessels Lebensgeschichte und versucht, Bessels zahlreiche, weitgespannte wissenschaftliche Arbeiten und Leistungen auch dem Nichtfachmann verständlich und spannend darzustellen.

Als P. R. Fuss, ein Urenkel Leonhard Eulers und seinerzeit standi­ ger Sekretar der Petersburger Akademie der Wissenschaften, das zweibandige Werk Mathematischer und physikalischer Briefwech­ sel einiger bedeutender Geometer des 18. Jahrhunderts heraus­ gab, reservierte er den erst en Band fiir den Briefwechsel seines 1 beriihmten UrgroBvaters mit dessen Freund Christian Goldbach. 1m zweiten Band nimmt die Korrespondenz Goldbachs mit zwei 2 Vert ret ern der Familie Bernoulli, mit Nikolaus II und Daniel , einen beachtlichen Platz - mehr als 300 Seiten - ein. AIle diese Gelehrten des 18. Jahrhunderts waren Mitglieder der Pe­ tersburger Akademie der Wissenschaften. Euler und Daniel Ber­ noulli genieBen Weltruhm, Nikolaus II Bernoulli starb ganz jung, ohne geniigend Zeit gehabt zu haben, sein offensichtlich vorhan­ denes Talent zu entfalten. Goldbachs wissenschaftliche Verdienste sind weitaus weniger bekannt, obwohl jeder Mathematiker schon etwas von der Goldbachschen Vermutung in der Zahlentheorie gehort hat. Fuss auBerte sich tiber Goldbach folgendermaBen: «Sein Briefwechsel zeigt, daB es der graBen Breite seiner Kennt­ nisse geschuldet ist, wenn er auf keinem Spezialgebiet beriihmt wurde. Bald sehen wir ihn mit Bayer knifRige Fragen der klassi­ schen und orientalischen Philologie behandeln; bald laBt er sich auf endlose Streitereien liber Archaologie mit dem berlihmten Stosch ein; hier zieht ihn Biilfinger zu den damals in Mode kom­ menden metaphysischen Spekulationen heran, die indessen zu rein gar nichts fiihrten; dort regen Euler und die Bernoulli ihn an, sich mit Mathematik zu beschaftigen und weihen ihn in die Geheimnisse der hoheren Analysis und der Zahlentheorie ein.