Bøger i Wissenschaft Und Kultur serien

Dieses Buch verfolgt verschiedene, eng miteinander verbundene Ziele. In erster Linie mochte es Schiilern, Lehrern und Studierenden der Mathematik dienlich sein als Einfiihrnngin einen wichtigen, aher meist vernachlassigten Aspekt der Mathematik. Doch ist das Buch in gewissem Sinn auch eine philosophische Abhandlung. Ebenso ist es eine Fortsetzung friiherer Arbeiten und verlangt selbst eine Fortsetzung. Ich werde auf diese Punkte der Reihe nach zu sprechen kommen. 1. Streng genommen besteht unser ganzes Wissen auIlerhalb der Mathematik und der demonstrativen Logik (die ja in der Tat ein Zweig der Mathematik ist) aus Vermutungen. Es gibt natiirlich Ver­ mutungen und Vermutungen. Es gibt hOchst respektable und zu­ verlassige Vermutungen wie die in gewissen allgemeinen Gesetzen der Naturwissenschaften niedergelegten. Es giht andere Vermutungen, die weder respektabel noch zuverlassig sind, und die einen zuweilen argern konnen, wenn man sie in der Zeitung Hest. Und zwischen diesen beiden Extremen stehen alle moglichen Arten und Schattierungen von Ver­ muten, instinktivem Vorausfiihlen und Erraten. Wir sichern die Giiltigkeit unseres mathematischen Wissens durch demonstratives SchliefJen, aber wir stiitzen unsere Vermutungen durch plausibles SchliefJen. Ein mathematischer Beweis besteht aus demon­ strativem SchlieIlen, aber der Induktionsbeweis des Physikers, der Indizienbeweis des Juristen, der dokumentarische Beweis des Ristori­ kers, der statistische Beweis des Nationalokonomen gehoren zum plausiblen SchlieIlen. Der Unterschied zwischen den heiden SchluIlweisen ist groIl und mannigfaltig. Demonstratives SchlieBen ist sicher, unbestreitbar und endgiiltig. Plausibles Schlie!3en ist gewagt, strittig und provisorisch.

mologischen Problematik und an dem interdisziplinären Charakter der Schrift festzuhalten. Denn mit dieser Schrift sollte nicht allein der fachwissenschaft­ lichen Seite von HÖNLS Werk, sondern der ganzen Person, die sich durch Offenheit für alle Richtungen des Geistes auszeichnet, unsere Ehre erwiesen werden. Die Bereitwilligkeit, mit der sich Physiker, Philosophen, Philologen und Kunstbetrachter in diesem Convivium cosmologicum zusammengefunden haben, bezeugt, daß HÖNLS Bemühungen, die durch eingewurzelte Vorur­ teile zementierte Trennung von Natur-und Geisteswissenschaften zu durch­ brechen, nicht ohne Echo geblieben sind. Ihnen allen gilt mein verbindlicher Dank. Dem Birkhäuser Verlag ist desgleichen für seine Bereitschaft besonders zu danken, das Convivium cosmologicum mit der ihm entsprechenden druck­ technischen Ausstattung in die Reihe Wissenschaft und Kultur, die gleich­ gerichtete interdisziplinäre Zwecke verfolgt, aufzunehmen. Meinen weiteren Dank spreche ich dem Kultusministerium des Landes Baden-Württemberg für die Bewilligung eines Zuschusses zu den Druckkosten aus. Dem Verlag E. Battenberg, München, danke ich für die Erlaubnis, die Rückerinnerung HÖNLS wieder abzudrucken; außerdem danke ich W. ERNsT BÖHM, Ludwigs­ hafen, für seine Bereitschaft, das von ihm hergestellte Bild HÖNLS verwenden zu dürfen.

Systeme. Es scheint, daB der neue Standpunkt immer neue Positionen gewinnt. Ungeachtet dessen sind die Anhanger der traditionellen Auffassung der An­ sicht, daB viele Beobachtungen fiir sie sprachen. Man kann den Meinungsstreit deshalb noch nicht als beendet ansehen. Zweifellos ist jedoch der neue Standpunkt fruchtbarer. Man konnte uns ent­ gegenhalten, daB zwar Eruptionen sowie Zerfalls-und Expansionsprozesse tat­ sachlich eine groBe Rolle im Weltall spielen und der neue Standpunkt nur deshalb fruchtbar war, weil er ihnen besondere Aufmerksamkeit schenkte, daB aber diese Prozesse nicht das Wesentliche der Evolution beinhalten. Ein solcher Einwand erscheint uns gekiinstelt. Moge das vorliegende Buch dem Leser helfen, selbst den gegenwartigen Stand des Problems sow,ie den Wahrheitsgehalt sowohl der alten als auch der neuen Ansichten einzuschatzen. Bjurakan, Juli 1975 V. A. AMBARZUMJAN Vorwort zur 2. russischen Auflage Seit der Vorbereitung der ersten Ausgabe unseres Buches vergingen mehr als vier Jahre. In dieser Zeit wurde die Astronomie urn eine Vielzahl von neuen Fakten bereichert, welche im direkten Zusammenhang mit den Problemen der Kosmogo­ nie stehen. Vor allem erweiterte sich unser Wissen tiber die aktiven Kerne der Galaxien, tiber MAB,KARJAN-Galaxien und tiber die ZwrcKyschen Kompakt­ galaxien. Wir besitzen neue erstaunliche Fakten tiber "eruptive" Sterne. Es wurden die Pulsare entdeckt. Diese Fakten haben eine groBe Bedeutung fUr die Losung der Frage nach dem Schicksal der beiden Richtungen in der gegenwartigen Kosmogonie - der klassi­ schen und der in Bjurakan verfolgten Richtung.

Albert Einstein ist eine zentrale Gestalt der Geistesgeschichte unseres Jahrhunderts und der Wissenschaftsgeschichte überhaupt. Als Naturforscher gestaltete Einstein das wissen­ schaftliche Weltbild in seinen inhaltlichen und methodischen Grundlagen völlig um. Die durch Einstein eingeleitete wissenschaftliche Revolution reicht in ihrer Bedeutung und ihrem Einfluß weit über die Physik hinaus und ist nur mit dem durch Copernicus und Gali­ lei bewirkten Umbruch des wissenschaftlichen Weltbildes vergleichbar. Die schöpferische Leistung Einsteins als Autor der Relativitätstheorie steht gleichrangig neben der Begrün­ dung der klassischen Physik durch Galilei und Newton und der klassischen Feldtheorie durch Faraday und Maxwell. Einstein lehrte uns, die Beziehungen zwischen Physik und Naturwissenschaften einerseits und zwischen Mathematik und Erkenntnistheorie ande­ rerseits neu zu sehen. Seine Entdeckungen hatten in unserem Jahrhundert den größten Einfluß auf die weitere Entwicklung der Physik als Fachdisziplin. Das neue Bild der Welt, das wir Einstein verdanken, ist jedoch noch bedeutungsvoller. Einstein war aber nicht nur der bahnbrechende Forscher, sondern auch ein großer praktischer Ethiker und Humanist, dessen gesellschaftliche und politische Aktivitäten sich zwar auf seine überragende wissenschaftliche Autorität stützten, aber auch unab­ hängig von seinem wissenschaftlichem Werk flir die Gegenwartsgeschichte von großer Bedeutung waren. In Einstein vereinigte sich der revolutionäre Umgestalter und schöpfe­ rische Neubegründer des wissenschaftlichen Weltbildes mit dem philosophischen Impetus des Sozial-Ethikers und kämpferischen Humanisten.

10 in denen meine Beobachtungen meine Schlüsse zu stützen scheinen. Aber ich achte das Urteil des Lesers und will ihn nicht zwingen oder auf irgendeine unsaubere Weise dazu bringen, meine Schlüsse anzu­ nehmen. Natürlich erheben die hier gebotenen Ansichten keinen Anspruch auf Endgültigkeit. Ich könnte in der Tat eine Reihe von Stellen ange­ ben, wo ich klar empfinde, daß eine größere oder kleinere Verbesse­ rung am Platz wäre. Ich glaube jedoch, daß die Hauptrichtung richtig ist, und ich hoffe, daß die Ausführungen und vor allem die Beispiele in diesem Werk dazu beitragen mögen, die «Doppelnatun und die «komplementären Aspekte) plausiblen, insbesondere induktiven Schließens, zu erhellen, das zuweilen als «objektiv) und zuweilen als «subjektiv) erscheint. Stanford University Georg P6lya Mai 1953 VORWORT ZUR ZWEITEN AUFLAGE Die vorliegende zweite Auflage wurde erweitert durch einen An­ hang. Dieser enthält einen Aufsatz «Heuristische Schlußweisen in der Zahlentheorie), entnommen dem American Mathematical Monthly mit der Genehmigung des herausgebenden Vereins, und zusätzliche Bemerkungen und Aufgaben zu verschiedenen Kapiteln. Herzlichen Dank Fräulein Dr. A. Roth für die gewissenhafte Über­ setzung und Frau H. Bretscher für freundliche Hilfe.

zwar nur gelesenoder gehort abermit echtemInteresse und wirkIicher Einsicht verfolgt hat, kann zu einem Schema werden, zu einem Vor­ bild, das sich bei der Losung ahnlicher Aufgaben mit Vorteil nacho ahmen laBt. Teil 1 setzt sioh zum Ziel, den Leser mit einigen der­ artigen besonders niitzlichen Schemata bekanntzumachen. Es mag leicht sein, die LOsungeiner Aufgabe nachzuahmen, wenn man eineihr sehr ahnliche zu losenhat; eine solcheNachahmung wird sehwieriger oder kaum moglich sein, wenn keine sostarke AhnIichkeit vorliegt. Auch ist ein Verlangen nach etwas, was mehr ist als bloBe Nachahmung, tief verwurzelt in der menschlichen Natur: ein Ver­ langen nach einem Verfahren, das, von Einschrankungen frei, aile Probleme, aile Aufgaben im weitesten Sinn losen kann. Dieses Ver­ langen mag bei vielen Menschen dunkel bleiben, aber es tritt in ein paarMarchen - der Lesererinnertsiohvieileicht an die Geschichte von dem Zauberwort, das aile Tiiren offnet - und in den Schriften einiger Philosophen zutage. Descartes hat sioh intensiv mit der Idee einer universellen Methode zur Losung ailer Probleme befaBt, und Leibnitz hat die Idee einer vollkommenen Methode sehr klar formuliert. Aber die Suche nach einer universeilen vollkommenen Methode ist ebenso erfolglos geblieben wie die Suche nach dem Stein der Weisen, der niedrige Metaile in Gold verwandeln soilte; es gibt groBeTraume, die Traume bleiben mtissen. Dennoch iiben solche unerreichbaren Ideale ihren EinfluB aus: Es hat noch niemand den Polarstem erreicht, aber vielehaben siohnach ihm gerichtetund soden richtigenWeggefunden.

Entwicklungsgesetzen der Mathematik an einem ganz konkreten Beispiel nachzuspiiren ist del' Sinn dieses Buches, das dem 200. Geburtstag von CARL FRIEDRICH GAUSS gewidmet ist. Das Beispiel ist das Reziprozitats­ gesetz der quadratischen Reste, das GAUSS - wie schon einige seiner Vorganger - aus einem groBen Zahlenmaterial vermutungsweise ablas, aber als erster gleichsam mit Gewalt durch vollstandige Induktion verifi­ zierte, ohne damit dem "Wesen" dieser eigenartigen GesetzmaBigkeit naherzukommen. Die nachsten Stufen der Entwicklung tiirmte GAUSS iiber-und nebeneinander mit der Absicht, durch moglichst verschieden­ artige Beweismethoden (GauBsches Lemma, Einordnung in die GauBsche Theorie der quadratischen Formen und der Kreisteilung), Erweiterung des Themas (kubische und biquadratische Reste) und des Zahlenbereiches (ganze GauBsche Zahlen) den Weg zu allgemeinen GesetzmaBigkeiten zu eroffnen. Die Arbeit vieler groBer Mathematiker nach GAUSS war notig, um den Weg bis zu einem Gipfel zu verfolgen: Als allgemeiner Rahmen bildete sich die algebraische Zahlentheorie heraus und darin die Klassen­ korpertheorie, die 1927 mit ARTINS allgemeinem Reziprozitatsgesetz ihren Hohepunkt erreichte. Damit war die GauBsche Vermutung bestatigt, da das quadratische Reziprozitatsgesetz jetzt nur noch als besonders ein­ facher Spezialfall des Artinschen Reziprozitatsgesetzes erscheint. 1m vollen Umfang konnte diese etwa 130jahrige Entwicklung in diesem Buch natiirlich nicht dargestellt werden, um so ausfiihrlicher dafiir aber die einigermaBen elementaren ·Teile des Beitrages, den GAUSS als Weg­ bereiter der Reziprozitatsgesetze geleistet hat, womit er zum Pionier der modernen algebraischen Zahlentheorie geworden ist.

kleinere und neuereBuchlein von JACQUES NICoLLE,La.

XIV , bilden den Grundstein d~s vorliegenden Buches; sie wurden verbessert, erweitert und mit neuen Beitdigen zu einem einheitlichen Ganzen verschmolzen. Ich glaube, daB das Buch tnanchem Leser auch einige Uberraschungen bereiten wird. So wird u. a. dokumentiert, daB - im Gegensatz zu den iiblichen historischen Bemer­ kungen - NEWTON das iiberall nach ihm benannte Gesetz «Kraft gleich Masse mal Beschleunigung» nirgends und niemals, nicht in Worten und erst recht nicht in mathe­ matischer Formulierung niedergeschrieben hat. Es wird auch dargelegt, daB D'ALEM­ BERT weder den Streit urn «das wahre KraftmaB» entschieden noch das nach ihm be­ nannte «Paradoxon» nachgewiesen hat. Auch sein kinetisches Prinzip hatte gewich­ tige V orbilder und geht - ins besondere in der heutigen Form -auf LAGRANGE zuriick. Ebenso ist die Benennung der stationaren Stromfadengleichung nach DANIEL BER­ NOULLI nicht zutreffend: sein Vater JOHANN hatte sie sogar fUr den instationaren Fall auf die heute iibliche Form gebracht. Die Navier-Stokesschen Bewegungsgleichungen miiBten nach NA VIER und DE SAINT-VENANT benannt werden. Es diirfte auch kaum bekannt sein, daB schon bei DANIEL BERNOULLI eine Art von «Rayleigh-Quotient» vorkommt.