Bøger af Hans Hermes

Die Verbandstheorie ist in neuerer Zeit in den Vordergrund des mathematischen Interesses getreten, weil sie ebenso wie die Gruppen- theorie im Prinzip sehr einfache Zusammenhange betrachtet und so (fast noch mehr als die Gruppentheorie) in den verschiedensten Ge- bieten der Mathematik Anwendung findet. Es handelt sich um die Untersuchung von Strukturen, die allgemeiner sind als geordnete Mengen, die aber mit den geordneten Mengen gemeinsam haben, da es zu je zwei Elementen immer ein kleinstes beide umfassendes und ein grotes in beiden enthaltenes Element gibt. Das vorliegende Buch will eine Einfuhrung in die Verbandstheorie und ihre Anwendungen geben. Die Beweise werden ziemlich ausfuhr- lich dargestellt. An den meist leichten Ubungsaufgaben am Ende des Paragraphen kann der Leser kontrollieren, wie weit er den Text ver- standen hat. Die Beispiele sind aus den Grundlagen der Geometrie, der Algebra und der Topologie gewahlt und setzen damit eine gewisse mathematische Allgemeinbildung voraus. In einem Anhang werden die wichtigsten logischen und mengen- theoretischen Begriffe zusammengestellt. Insbesondere werden Symbole fur die einfachsten logischen Verknupfungen eingefuhrt. Ich habe mich nicht gescheut, diese Symbole auch ab und zu im Text zu verwenden, da so in vielen Fallen die logische Struktur einer Aussage deutlicher hervortritt, und da man insbesondere oft mit Aquivalenzen ebenso bequem rechnen kann, wie es der Mathematiker schon immer mit Gleichungen zu tun gewohnt ist. Es kommt hinzu, da in wichtigen Verbanden die verbandstheoretischen Operationen unmittelbar mit aussagenlogischen Verknupfungen zusammenhangen.

Wir hören in dieser "Arbeitsgemeinschaft für Forschung" oft Vorträge über ganz spezielle Themen, die nur von den Fachleuten völlig verstanden werden können, während die anderen Zuhörer kein eigenes Urteil über die Materie haben. Bei der Logik ist dies anders, denn eigentlich müßte jeder Fachmann sein: Jeder, der überhaupt mit irgendeiner Theorie arbeitet, bedient sich dabei der Logik. Jeder Wissenschaftler sollte daher etwas von der Logik verstehen. Um Mißverständnissen vorzubeugen, soll genauer gesagt werden, was hier mit "Logik" und" Theorie" gemeint sein soll. Das. Wort "Logik" wird heute oft in einem sehr weiten Sinn verwendet. Hier soll ausschließlich von formaler Logik die Rede sein. Wenn im folgenden von "Theorien" gespro­ chen wird, so sind darunter fertige Theorien zu verstehen. Diese haben eine gewisse Struktur, sie sind in einer besonderen Weise aufgebaut. Für diesen Aufbau wollen wir uns interessieren. Ein interessantes, aber viel schwierigeres Problem ist es, zu ermitteln, wie man zu neuen Theorien kommt. Auch bei diesem Prozeß spielt die Logik eine wesentliche Rolle. Dies ist aber nicht Gegenstand dieses Vortrags. Schließlich soll betont werden, daß hier nicht die Grundlagen der Logik schlechthin diskutiert werden sollen. Es sollen nur die Aspekte heraus­ gehoben werden, welche es mit der dienenden Rolle der Logik beim Aufbau naturwissenschaftlicher Theorien zu tun haben.

Das vorliegende, 1963 in erster Auflage erschienene Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen. Es soll eine Einführung in die klassische zweiwertige Prädikaten­ logik geben. Die Beschränkung auf die klassische Logik soll nicht besagen, daß diese Logik prinzipiell einen Vorzug vor anderen, nichtklassischen Logiken besitzt. Die klassische Logik empfiehlt sich jedoch als Einführung in die Logik wegen ihrer Einfachheit und als Fundament für die Anwendung deshalb, weil sie der klassischen Mathematik und damit den darauf aufgebauten exakten Wissenschaften zugrunde liegt. Das Buch wendet sich primär an Studierende der Mathematik, die in den An­ fängervorlesungen bereits einige grundlegende mathematische Begriffe, wie den Gruppenbegriff, kennengelernt haben. Der Leser soll dazu geführt werden, daß er die Vorteile einer Formalisierung einsieht. Der übergang von der Umgangssprache zu einer formalisierten Sprache, welcher erfahrungsgemäß gewisse Schwierigkeiten bereitet, wird eingehend besprochen und eingeübt. Die Analyse desmathemati­ schen Umgangs mit den grundlegenden mathematischen Strukturen führt in zwangloser Weise zum semantisch begründeten Folgerungsbegriff.

If we grant the legitimacy of the suggested precise replacements of the concept of algorithm and related concepts, then we can say that the mathematicians have shown by strictly mathematical methods that there exist mathematical problems which cannot be dealt with by the methods of calculating mathematics.

however, classical logic is a good introduction to logic because of its simplicity, and a good basis for applications because it is the foundation of classical mathematics, and thus of the exact sciences which are based on it.