Bøger af Roberto Lucchetti

This volume contains several surveys focused on the ideas of approximate solutions, well-posedness and stability of problems in scalar and vector optimization, game theory and calculus of variations. These concepts are of particular interest in many fields of mathematics. The idea of stability goes back at least to J. Hadamard who introduced it in the setting of differential equations; the concept of well-posedness for minimum problems is more recent (the mid-sixties) and originates with A.N. Tykhonov. It turns out that there are connections between the two properties in the sense that a well-posed problem which, at least in principle, is "e;easy to solve"e;, has a solution set that does not vary too much under perturbation of the data of the problem, i.e. it is "e;stable"e;. These themes have been studied in depth for minimum problems and now we have a general picture of the related phenomena in this case. But, of course, the same concepts can be studied in other more complicated situations as, e.g. vector optimization, game theory and variational inequalities. Let us mention that in several of these new areas there is not even a unique idea of what should be called approximate solution, and the latter is at the basis of the definition of well- posed problem.

E convinzione generale che la matematica sia una materia difficile da capire, che usa simboli esoterici e un linguaggio poco comprensibile, che sia soprattutto calcolo. Certamente, e una materia particolare, che ha bisogno di formule e che necessita di un linguaggio formale a volte molto sofisticato. Tuttavia, e anche una scienza piena di idee, che non hanno solo la funzione di progredire in una qualche teoria o di servire altre scienze per i loro modelli quantitativi. Come la filosofia, come la letteratura, la matematica e utile all'uomo per cercare di capire un po' meglio il mondo che lo circonda, e soprattutto se stesso. Convinto profondamente di questo, l'autore propone alcuni argomenti, che sono particolarmente adatti a mettere in luce questo aspetto della matematica. L'autore utilizza, a volte, un linguaggio piu matematico per completare il ragionamento, ma e del tutto convinto che il lettore interessato possa seguire tutti i suoi ragionamenti perche, parafrasando un grande matematico del secolo scorso, "e;chi non ha dimestichezza con le tecniche matematiche si rendera conto di potersela cavare senza problemi ignorandole del tutto"e; (J.F.Nash, jr).

We shall consider convex functions from the most modern point of view: a function is de?ned to be convex whenever its epigraph, the set of the points lying above the graph, is a convex set. Except for trivial cases, the minimum value must be taken at a point where the function is not +?, hence at a point in the constraint set.